Maestro Víctor García-Acín

This post is dedicated to Víctor García-Acín, an excellent Composer of Classical Music and Jazz, and a very kind and humble person. He is married to Laura Casellas-Jiménez, a Writer and a Professor of Special Education. They have a daughter named Angie, and they currently live in Calafell, a town in the province of Tarragona, Catalonia, Spain.

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Los polinomios de Rudin-Shapiro

Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por

\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta  \in \mathbb R\}

Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana

\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.

Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto

\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.

Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2} donde c>1 es una constante. Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean

R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),

Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. Además se tiene

|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2  \right ),

de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_k entonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.

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Números críticos autoorganizados

La semana que viene nos visita el Profesor Bartolo Luque para dar una charla en el coloquio del IMUS sobre números críticos autoorganizados. Bartolo Luque es Doctor en Ciencias Físicas por la Universidad Politécnica de Cataluña y es especialista en sistemas complejos. Actualmente es Profesor Titular de Universidad en la Universidad Politécnica de Madrid. Aquí tenéis un resumen de su charla.

La teoría de números está llena de problemas de enunciado sencillo que, sin embargo, después de siglos permanecen irresueltos. Dos ejemplos clásicos son la existencia de infinitos primos gemelos (primos de la forma p y p + 2) y la conjetura de Golbach (todo número par mayor que 2 es expresable como la suma de dos primos). Por su naturaleza, muchos de estos problemas se prestan a exploración numérica mediante ordenador, lo que ha venido a llamarse Matemática Experimental. Carro al que se están montando físicos con herramientas propias de la mecánica estadística y las ciencias de la complejidad. En esta charla presentaremos un ejemplo de este contubernio, donde se juega con conceptos como la criticalidad autoorganizada, los conjuntos primitivos y las redes complejas.

LUGAR: Seminario del IMUS
DÍA: Miércoles, 28 de mayo de 2014
HORA: 10:30 horas
Más información en: http://www.imus.us.es/

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Foro del cálculo infinitesimal

El objeto de este post es abrir un debate para que pongáis en los comentarios vuestras dudas y sugerencias de cara al examen de junio.

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Invariant subspaces and Deddens algebras

My paper entitled `Invariant subspaces and Deddens algebras’ has been accepted for publication in Expositiones Mathematicae. Here is the abstract

It is shown that if the Deddens algebra \mathcal D_T
associated with a quasinilpotent operator T
on a complex Banach space is closed and localizing then T
has a nontrivial closed hyperinvariant subspace.

You can access the on line version clicking on this link.

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Extended eigenvalues for Cesàro operators

I just uploaded to the arXiv a preprint of my paper on extended eigenvalues for Cesàro operators. This is joint work with Fernando León-Saavedra (Cádiz), John Petrovic (Michigan) and Omid Zabeti (Iran).

A complex scalar \lambda is said to be an extended eigenvalue of a bounded linear operator T on a complex Banach space if there is a nonzero operator X such that TX= \lambda XT. Such an operator X is called an extended eigenoperator of T corresponding to the extended eigenvalue \lambda.

The purpose of this paper is to give a description of the extended eigenvalues for the discrete Cesàro operator C_0, the finite continuous Cesàro operator C_1 and the infinite continuous Cesàro operator C_\infty defined on the complex Banach spaces \ell^p, L^p[0,1] and L^p[0,\infty) for 1 < p <\infty by the expressions

\displaystyle{  (C_0f)(n) \colon  = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n f(k),}

\displaystyle{  (C_1f)(x) \colon  = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt,}

\displaystyle{  (C_\infty f)(x) \colon  = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt.}

It is shown that the set of extended eigenvalues for C_0 is the interval [1,\infty), for C_1 it is the interval (0,1], and for C_\infty it reduces to the singleton \{1\}.

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