A local spectral condition for strong compactness

Ayer tuve la noticia de que mi artículo titulado A local spectral condition for strong compactness with some applications to bilateral weighted shifts ha sido aceptado para su publicación en Proceedings of the American Mathematical Society. Éste es un trabajo en colaboración con María del Pilar Romero de la Rosa, de la Universidad de Cádiz. Ahí va un resumen de sus contenidos.

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Calificaciones SFIL 1112

Series de Funciones e Integral de Lebesgue   :::   Grupo A

Nombre y Apellidos Calificación
María Carrasco Carrasco 1.0 suspenso
Sergio López Casado 0.0 suspenso
José Mª Contreras Beltrán 7.0 notable
Antonio Navarro Cuesta 3.5 suspenso
Pablo Rodríguez Macarro 6.5 aprobado
Daniel Ruiz Coronel 5.0 aprobado

Revisión de examen

Viernes día 17 de febrero a las 12:00 horas
Despacho 6, Módulo 15, Edificio Central

Miguel Lacruz Martín
Sevilla, 15 febrero 2012

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Foro abierto febrero 2011

Esta entrada tiene por objeto abrir un hilo de comentarios con dudas y preguntas de cara al examen del día 7 de febrero.

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Calificaciones SFIL 1112

Ya se pueden consultar las calificaciones en este enlace. La revisión de examen tendrá lugar el martes día 24 de enero a las 12 horas.

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Clave de Soluciones

He preparado una clave de soluciones a las cuestiones del examen del pasado 16 de enero que se puede consultar en este enlace.

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Selberg y la simplicidad

Atle Selberg nació en Langesund, Noruega, el 14 de junio de 1917 y murió en Princeton, EE.UU. el 6 de agosto de 2007. Selberg fue un gigante de las Matemáticas del siglo XX. Sus contribuciones a las Matemáticas son tan profundas y originales que su nombre siempre será una parte importante de la Historia de las Matemáticas. Su especialidad fue la teoría de números en un amplio sentido de la palabra.

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Los teoremas de convergencia

Esta entrada comprende tres teoremas que se encuentran entre los más importantes del Análisis Matemático. La potencia y la utilidad de estos teoremas constituyen la principal ventaja teórica de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann.

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Informe anual 2011

The WordPress.com stats helper monkeys prepared a 2011 annual report for this blog.

Here’s an excerpt:

The concert hall at the Syndey Opera House holds 2,700 people. This blog was viewed about 27,000 times in 2011. If it were a concert at Sydney Opera House, it would take about 10 sold-out performances for that many people to see it.

Click here to see the complete report

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Un conjunto no medible

Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia en el intervalo [0,1) del siguiente modo: dos números x,y \in [0,1) son equivalentes si x-y \in \mathbb{Q}. Esta relación define una partición del intervalo [0,1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma de elección, existe un conjunto S \subseteq [0,1) que contiene exactamente un elemento de cada clase. Sea ahora (r_j) una numeración de los números racionales en el intervalo (-1,1) y sea S_j=r_j+S. Veamos cómo (S_j) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x \in S_j \cap S_k entonces x=r_j+s_j y x=r_k+s_k con s_j,s_k \in S, pero s_j-s_k=r_k-r_j \in \mathbb{Q}, luego s_j=s_k y por lo tanto j=k. Además se tiene

\displaystyle{[0,1) \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty S_j \subseteq (-1,2),}

porque si x \in [0,1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y \in S tal que x-y \in \mathbb{Q}, de modo que x-y=r_j para algún j \geq 1, y así x \in S_j. Ahora probamos que S no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces S_j es un conjunto medible con m(S_j)=m(S) para todo j \geq 1 y por lo tanto

\displaystyle{m ( \bigcup_{j=1}^\infty S_j) = \sum_{j=1}^\infty m(S_j)= \sum_{j=1}^\infty m(S),}

y esto es una contradicción porque \displaystyle{ 1 \leq m (\bigcup_{j=1}^\infty S_j) \leq 3}, mientras que la serie \displaystyle{ \sum_{j=1}^\infty m(S)} converge a cero o diverge, según sea la medida m(S) nula o positiva.

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La ley de Benford

El astrónomo norteamericano Simon Newcomb observó en 1881 que las primeras páginas de las tablas de logaritmos, que entonces se usaban para realizar cálculos, estaban mucho más desgastadas que las demás páginas.

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