Extended eigenvalues for Cesàro operators

I just uploaded to the arXiv a preprint of my paper on extended eigenvalues for Cesàro operators. This is joint work with Fernando León-Saavedra (Cádiz), John Petrovic (Michigan) and Omid Zabeti (Iran).

A complex scalar \lambda is said to be an extended eigenvalue of a bounded linear operator T on a complex Banach space if there is a nonzero operator X such that TX= \lambda XT. Such an operator X is called an extended eigenoperator of T corresponding to the extended eigenvalue \lambda.

The purpose of this paper is to give a description of the extended eigenvalues for the discrete Cesàro operator C_0, the finite continuous Cesàro operator C_1 and the infinite continuous Cesàro operator C_\infty defined on the complex Banach spaces \ell^p, L^p[0,1] and L^p[0,\infty) for 1 < p <\infty by the expressions

\displaystyle{  (C_0f)(n) \colon  = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n f(k),}

\displaystyle{  (C_1f)(x) \colon  = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt,}

\displaystyle{  (C_\infty f)(x) \colon  = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt.}

It is shown that the set of extended eigenvalues for C_0 is the interval [1,\infty), for C_1 it is the interval (0,1], and for C_\infty it reduces to the singleton \{1\}.

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Foro abierto del cálculo diferencial

El objeto de este post es crear un foro en los comentarios para las dudas que tengáis de cara al examen de febrero. 

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Una función patológica

El objeto de este post es una función f \colon \mathbb R \to \mathbb R que admite derivadas de todos los órdenes y tal que f^{(n)}(0)=0 para todo n \in \mathbb N, aunque f(x)>0 para todo x \neq 0. Así, resulta imposible aproximar la función f mediante sus polinomios de Taylor en el origen, pues todos los polinomios de Taylor de f en el origen son nulos, aunque f no se anula idénticamente.

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San Alberto Magno

Alberto nació en la acomodada familia bávara del conde de Bollstädt, siendo el mayor hijo de la familia. Más tarde recibió el nombre de Magno y tambiém Doctor Universal para indicar la estima en que le tenían sus contemporáneos. Pasó sus primeros años en Lauingen y debió ser educado en su casa o en una escuela cercana. Su tío vivía en Padua de modo que, como la universidad de allí era famosa por artes liberales, era un sitio natural para sus estudios. Después de estudiar artes liberales en la Universidad de Padua se alistó en la orden de los dominicos en Padua en 1223 siendo atraído por las enseñanzas de Jordan de Sajonia, que era la cabeza de la orden. Esto significaba que no estaba atado a una parroquia o un monasterio, de modo que podía estudiar y enseñar sobre una gran área.

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Números algebraicos

Se dice que un número real x \in \mathbb R es algebraico si existe un polinomio p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n con coeficientes enteros con a_n \neq 0 tal que p(\alpha)=0.
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La fórmula del binomio

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

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Localizing algebras

I uploaded to the arXiv a preprint of my paper entitled `Localizing algebras and invariant subspaces’. This is joint work with my colleague Luis Rodríguez-Piazza at Universidad de Sevilla. You may download the paper from this link

http://arxiv.org/abs/1308.4995

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