Soluciones a los problemas de cálculo (II)

He preparado un documento en formato pdf con una clave de soluciones a problemas seleccionados del tema 2 de la asignatura Cálculo infinitesimal. Se puede descargar este documento pinchando en este enlace.

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Soluciones a la crisis del ébola

Escribo esta reseña para dar a conocer algunas soluciones para combatir la crisis del ébola que propone al Gobierno de España mi buen amigo el Profesor Agustín García Luque*.

  1. Aumento presupuestario para los organismos oficiales que actualmente se dedican al estudio de enfermedades infecto-contagiosas.
  2. Creación de hospitales y centros de salud, y formación sanitaria en los países foco de dichas enfermedades, para una atención temprana y adecuada de los pacientes infectados. Todo ello debería ir acompañado de dotación presupuestaria contemplada en los presupuestos generales del Estado.
  3. Obligar a las compañías farmacéuticas que trabajan en España a que dediquen una parte mayor de sus presupuestos y recursos al estudio e investigación de estas enfermedades infecto-contagiosas.
  4. Incentivos fiscales, como la posibilidad de desgravar las cantidades destinadas al estudio de estas enfermedades a dichas compañías farmacéuticas.
  5. Establecimiento de medidas de control, seguimiento y atención en aeropuertos internacionales para una detección temprana de posibles infectados y una forma más adecuada de tratamiento, estableciendo un protocolo eficaz a nivel europeo e internacional.
  6. Instar a la Comunidad Europea a la elaboración de leyes y medidas con el objetivo de atender debidamente a los enfermos y erradicar dichas enfermedades empezando por los focos de origen y continuando en todo aquel sitio o lugar que fuese necesario.
  7. Reconocimiento especial a las personas que han entrado en contacto con la enfermedad, llegando a contagiarse solamente por ayudar a los demás.
  8. Iniciar campañas educativas y de prevención, tanto a nivel local como internacional, para informar de dicha enfermedad , formas de transmisión, y limpieza y cuidados para evitar su propagación.

Por todas las personas que sufren ébola y otras enfermedades infecto-contagiosas en África, o en cualquier otro lugar del mundo, para que estén debidamente atendidas, por sus vidas, por ti, por nosotros: todos saldremos ganando. Comparte y difunde. Gracias.

(*) Agustín García Luque es Licenciado en Física por la Universidad de Sevilla, Profesor de Enseñanza Secundaria y Maestro Internacional de Ajedrez. Su formación y su experiencia como físico y como ajedrecista le confieren una gran habilidad para la resolución de problemas y la toma de decisiones.

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Soluciones a los problemas de cálculo (I)

He preparado un documento en formato pdf con una clave de soluciones a problemas seleccionados del tema 1 de la asignatura Cálculo infinitesimal. Se puede descargar este documento pinchando en este enlace.

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La fórmula del binomio de Newton

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

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Los polinomios de Rudin-Shapiro

Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por

\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta  \in \mathbb R\}

Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana

\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.

Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto

\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.

Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2} donde c>1 es una constante. Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean

R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),

Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. Además se tiene

|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2  \right ),

de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_k entonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.

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Números críticos autoorganizados

La semana que viene nos visita el Profesor Bartolo Luque para dar una charla en el coloquio del IMUS sobre números críticos autoorganizados. Bartolo Luque es Doctor en Ciencias Físicas por la Universidad Politécnica de Cataluña y es especialista en sistemas complejos. Actualmente es Profesor Titular de Universidad en la Universidad Politécnica de Madrid. Aquí tenéis un resumen de su charla.

La teoría de números está llena de problemas de enunciado sencillo que, sin embargo, después de siglos permanecen irresueltos. Dos ejemplos clásicos son la existencia de infinitos primos gemelos (primos de la forma p y p + 2) y la conjetura de Golbach (todo número par mayor que 2 es expresable como la suma de dos primos). Por su naturaleza, muchos de estos problemas se prestan a exploración numérica mediante ordenador, lo que ha venido a llamarse Matemática Experimental. Carro al que se están montando físicos con herramientas propias de la mecánica estadística y las ciencias de la complejidad. En esta charla presentaremos un ejemplo de este contubernio, donde se juega con conceptos como la criticalidad autoorganizada, los conjuntos primitivos y las redes complejas.

LUGAR: Seminario del IMUS
DÍA: Miércoles, 28 de mayo de 2014
HORA: 10:30 horas
Más información en: http://www.imus.us.es/

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Foro del cálculo infinitesimal

El objeto de este post es abrir un debate para que pongáis en los comentarios vuestras dudas y sugerencias de cara al examen de junio.

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