Sucesiones de funciones

Esta entrada trata algunas cuestiones relacionadas con las sucesiones de funciones, tales como la convergencia puntual y la convergencia uniforme, así como la conservación de la continuidad, derivabilidad e integrabilidad por paso al límite uniforme.

Definición 1. Se dice que una sucesión de funciones (f_n) converge puntualmente hacia una función f sobre un dominio D \subseteq \mathbb{R} si para todo x \in D se tiene \displaystyle{f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x).}

Así, una sucesión de funciones (f_n) converge puntualmente hacia f sobre D \subseteq \mathbb{R} si y sólo si se cumple la siguiente condición:

\forall x \in D,\;\; \forall \varepsilon >0,\;\; \exists n_0 = n_0(x,\varepsilon)   tal que   n \geq n_0 \Rightarrow |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon.

Ejemplo 1. Sea (f_n) la sucesión de funciones definidas en el intervalo [0,1] mediante la expresión f_n(x)=x^n. Entonces (f_n) converge puntualmente hacia la función f(x)=0 si 0 \leq x < 1, con f(1)=1. Cada f_n es una función continua y sin embargo el límite puntual no es una función continua.

Ejemplo 2. Sea (f_n) la sucesión de funciones definidas en el intervalo [0,1] mediante la expresión \displaystyle{f_n(x)=\frac{1}{1+n^2x^2}\,.} Entonces la sucesión (f_n) converge puntualmente hacia cero y por otra parte se tiene \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x)dx =1/2}.

Ejemplo 3. Sea (f_n) la sucesión de funciones definidas en \mathbb{R} mediante \displaystyle{f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{n}\,.} Entonces la sucesión (f_n) converge puntualmente hacia cero y sin embargo la sucesión de las derivadas f^\prime_n(x)=\cos(nx) no converge puntualmente.

Estos ejemplos sirven para ilustrar que la convergencia puntual no se comporta bien con la continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite de una sucesión de funciones.

A continuación se introduce una noción de convergencia que es más exigente pero que se comporta mejor con la continuidad, derivabilidad e integrabilidad.

Definición 2. Se dice que una sucesión de funciones (f_n) converge uniformemente hacia una función f sobre un dominio D \subseteq \mathbb{R} si se cumple la siguiente condición:

\forall \varepsilon >0,\;\; \exists n_0 = n_0(\varepsilon)   tal que   n \geq n_0 \Rightarrow |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon\;\;\forall x \in D.

Observación 1. Si una sucesión de funciones (f_n)  converge uniformemente hacia una función f\; sobre D\; entonces (f_n)  converge puntualmente hacia f\; sobre D.

Observación 2. Considerando la cantidad  \displaystyle{M_n=\sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)|,}  resulta que (f_n) converge uniformemente hacia f  sobre D  si y sólo si se tiene \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} M_n=0.}

Así, la sucesión de funciones del ejemplo 3 converge uniformemente hacia cero sobre la recta real, puesto que \displaystyle{M_n = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left | \frac{\sin (nx)}{n} \right | \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0\;} cuando n \rightarrow \infty.

Teorema 1. Si (f_n)\; es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente hacia una función f sobre un dominio D \subseteq \mathbb{R},\; entonces f\; es continua.

Según este resultado, la sucesión de funciones continuas del ejemplo 1 no debe converger uniformemente, porque converge puntualmente hacia una función que no es continua.

Teorema 2. Si (f_n)\; es una sucesión de funciones integrables Riemann en el intervalo [a,b]\; que converge uniformemente sobre [a,b]\; hacia una función f\; integrable Riemann
en [a,b]\; entonces se tiene

\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx.}

Según este resultado, la sucesión de funciones integrables Riemann (f_n) del ejemplo 2 no puede converger uniformemente sobre el intervalo [0,1],\; pues converge puntualmente hacia cero y sin embargo \displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx \neq 0.}

Teorema 3. Sea (f_n)\; una sucesión de funciones derivables en [a,b].\; Supongamos que (f_n)\; converge puntualmente sobre [a,b]\; hacia una función f\; y que la sucesión de las derivadas (f^\prime_n)\; converge uniformemente hacia una función continua en [a,b].\; Entonces la función f\; es derivable y además se tiene

\displaystyle{f^\prime(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}  f^\prime_n(x).}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, 1963
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10 respuestas a Sucesiones de funciones

  1. alf11235 dijo:

    Si una sucesión de funciones \{f_n\} (donde f_n : J\subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R^m) converge uniformemente a una función f : J\subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R^m, además sabemos que (t,f_n(t)) \in C para cada n\in\mathbb N y cada t\in J… Si C \subset \mathbb R^{m+1} es un conjunto compacto (con la métrica usual de \mathbb R^{m+1})… ¿Cómo concluyo rigurosamente que (t,f(t)) \in C para cada t\in J? Muchas gracias :)

    • Como (f_n(t)) converge hacia f(t), se sigue que (t,f_n(t)) converge hacia (t,f(t). Como (t,f_n(t)) \in C y C es cerrado, se sigue que (t,f(t)) \in C.

      P.D. No hace falta la convergencia uniforme. Basta con que (f_n) converja puntualmente hacia f.

  2. alf11235 dijo:

    Y otra pregunta muy importante también: Si consideramos las hipótesis de la pregunta anterior, además de eso, tenemos una función H: C\rightarrow \mathbb R^{m} que es uniformemente contínua.. ¿Cómo puedo probar que la sucesión \{H\big(t,f_n(t)\big)\}_{\scriptscriptstyle n\in\mathbb N} converge uniformemente a H\big(t,f(t)\big) para cada t\in J? …. Sólo eso, sé que debe ser fácil, pero no logro buscar una forma de empezar para probar estos 2 resultados… Ojala me puedan ayudar, saludos!

    • Sea \varepsilon >0. Como H es uniformemente continua, existe \delta >0 tal que si (t,s),(t^\prime,s^\prime) \in C y \|(t,s)-(t^\prime, s^\prime) \| < \delta entonces \|H(t,s)-H(t^\prime, s^\prime) \| < \varepsilon. Como (f_n) converge uniformemente hacia f, existe n_0 \in \mathbb{N} tal que si n \geq n_0 entonces \|f_n(t)-f(t)\| < \delta para todo t \in J. Ahora bien, si n \geq n_0 entonces \|(t,f_n(t))-(t,f(t))\| < \delta luego \|H(t,f_n(t))-H(t,f(t))\| < \varepsilon.

      • alf11235 dijo:

        Muchas gracias, era muy simple.. Estos 2 fueron hechos utilizados en la demostración de la parte de existencia del Teorema de Picard…

        Pd: Si tuviera más dudas.. ¿puedo seguir preguntando?.. gracias de nuevo, saludos! :D

      • ¡Claro que puedes seguir preguntando!
        Saludos,
        Miguel

  3. francisco guerra dijo:

    somos estudiantes de matematicas y queremos demostrar porque [Sin (nx)]/nx converge uniformemente a 0 en el intervalo (0,infinito) gracias

    • alf11235 dijo:

      Creo que puedo ayudarlos para que entiendan mejor xD.. Dejame ver primero si entiendo la pregunta:

      lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{nx} = 0 (uniforme?) para cada x \in\, ]0,\infty[“?

      Si esta fuera la pregunta… Para probar que el límite (puntual) es efectivamente cero notamos que:
      \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{\sin(nx)}{nx}| \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{1}{nx}|
      pues -1\leq \sin(x)\leq 1 para todo “latex x\in\, \mathbb R”. Claramente, el límite de la derecha es cero, luego
      \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{\sin(nx)}{nx}| \leq 0
      por lo que podemos concluír que
      \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{nx} = 0
      (esto solo prueba que el límite puntual de la sucesión de funciones es 0).

      Sólo faltaría probar que la convergencia es uniforme, pero desgraciadamente esto no es cierto……. notemos que
      \sup\limits_{x\in\, ]0,\infty[}\{|\frac{\sin(nx)}{nx}|\} = 1
      Para ver esto, es necesario probar que \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 (sale rápido usando L’Hopital) y notar que en x=0 (o cuando x tiende a 0) la función \frac{\sin(nx)}{nx} alcanza su máximo valor que es 1. Siendo así, obtenemos que
      \sup\limits_{x\in\, ]0,\infty[}\{|\frac{\sin(nx)}{nx}|\} = 1 \not\Rightarrow 0
      cuando n\rightarrow \infty. Ocurriendo esto, es imposible que la convergencia sea uniforme, pero sí puntual…

      • alf11235 dijo:

        Miles de errores xD… Dejo lo que escribí antes corregido……… (por favor, borrar el post anterior)

        Creo que puedo ayudarlos para que entiendan mejor xD.. Dejame ver primero si entiendo la pregunta:

        \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{nx} = 0 (uniforme?) para cada x \in\, ]0,\infty[“?

        Si esta fuera la pregunta… Para probar que el límite (puntual) es efectivamente cero notamos que:
        \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{\sin(nx)}{nx}| \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{1}{nx}|
        pues -1\leq \sin(x)\leq 1 para todo x\in\, \mathbb R. Claramente, el límite de la derecha es cero, luego
        \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{\sin(nx)}{nx}| \leq 0
        por lo que podemos concluír que
        \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin(nx)}{nx} = 0
        (esto solo prueba que el límite puntual de la sucesión de funciones es 0).

        Sólo faltaría probar que la convergencia es uniforme, pero desgraciadamente esto no es cierto……. notemos que
        \sup\limits_{x\in\, ]0,\infty[}\{|\frac{\sin(nx)}{nx}|\} = 1
        Para ver esto, es necesario probar que \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 (sale rápido usando L’Hopital) y notar que en x=0 (o cuando x tiende a 0) la función \frac{\sin(nx)}{nx} alcanza su máximo valor que es 1. Siendo así, obtenemos que
        \sup\limits_{x\in\, ]0,\infty[}\{|\frac{\sin(nx)}{nx}|\} = 1 \not\rightarrow 0
        cuando n\rightarrow \infty. Ocurriendo esto, es imposible que la convergencia sea uniforme, pero sí puntual…

  4. Esa sucesión de funciones no converge uniformemente hacia cero.

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