Teoremas de convergencia

Esta entrada comprende tres teoremas que se encuentran entre los más importantes del Análisis Matemático. La potencia y la utilidad de estos teoremas constituyen la principal ventaja teórica de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann.

Teorema (Teorema de la convergencia monótona). Sea (f_n) una sucesión no decreciente de funciones medibles no negativas y sea \displaystyle{f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x).} Entonces se tiene

\displaystyle{\int f = \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n.}

Corolario (Teorema de Beppo Levi). Si (f_n) es una sucesión de funciones medibles no negativas entonces se tiene

\displaystyle{\int\sum_{n=1}^\infty  f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n.}

Teorema (Lema de Fatou). Si (f_n) es una sucesión de funciones medibles y no negativas entonces se tiene

\displaystyle{\int  \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n.}

Teorema (Teorema de la convergencia dominada). Sea (f_n) una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente hacia cierta función f y supongamos que existe una función integrable g tal que |f_n(x)| \leq g(x). Entonces se tiene

\displaystyle{ \int f = \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n.}

Acerca de Miguel Lacruz

Gijón, Asturias, España, 1963
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10 respuestas a Teoremas de convergencia

  1. Ana del Valle dijo:

    Miguel, no entiendo del todo bien cuando en el teorema de la convergencia dominada decimos que |fn(x)|=< g(x), aquí utilizamos el valor absoluto porque (fn) es una sucesión de funciones medibles , no "medibles no negativas" como nos dice el teorema de convergencia monótona, ¿no?. Y a g(x) no le ponemos valor absoluto porque al ser integrable de lebesgue ya es medible y no negativa, ¿no?
    Con las condiciones del mismo teorema se puede decir que f(x)<g(x), ¿no?

    gracias.
    Ana.

    • Ana:
      1º El teorema de la convergencia monótona y el lema de Fatou se refieren a sucesiones de funciones no negativas. El teorema de la convergencia dominada no tiene esta restricción, las funciones pueden tomar valores positivos y negativos.
      2º La hipótesis de ser g no negativa está implícita en la desigualdad 0 \leq |f_n| \leq g y no en la hipótesis de ser integrable. Hay muchas funciones integrables que no son no negativas.
      3º Claro que se puede concluir que |f| \leq g pero no veo ninguna ventaja.

      Saludos,
      Miguel

      • Ana del Valle dijo:

        gracias, de todas formas si en el lema de fatou además de medible y no negativa fuese no decreciente ¿se daría la igualdad?

      • Ana, ¿quien tiene que ser no decreciente?
        Miguel

      • Ana del Valle dijo:

        (fn) la sucesión que dice que es de funciones medibles y no negativas, mi pregunta es que si esa sucesión fuese además de funciones no decrecientes ¿se daría la igualdad en vez de la desigualdad?
        gracias

      • Ana, es falso que si (f_n) es una sucesión no decreciente de funciones no negativas no decrecientes entonces hay igualdad en el lema de Fatou, por ejemplo considera en el intervalo [0,1] la sucesión \displaystyle{f_n =n \cdot \chi_{[1-1/n,1], },} que reúne las condiciones anteriores, pero \lim f_n=0 mientras que \displaystyle{\lim \int_0^1 f_n=1.}

  2. Ana del Valle dijo:

    Otra duda: en el lema de Fatou si (fn) fuene medible, no negativa y no decreciente, entonces en vez de darse la desigualdad, ¿no se daría la igualdad?

    • Ana,
      Vamos a ver, si (f_n) es una sucesión no creciente de funciones medibles tal que f_1 es integrable entonces \limsup \int f_n \leq \int \limsup f_n. Esto se deduce fácilmente aplicando el lema de Fatou a la sucesión (f_1-f_n). No sé si esto aclara tu duda.
      Saludos,
      Miguel

  3. Buenas, quisiera demostrar el teorema de convergencia decreciente, que es una variante del teorema de convergencia monótona. ¿Me podría ayudar?

  4. Magdalena dijo:

    Que pasa si es decreciente la sucecion

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