Foro abierto febrero 2011

Posted on 23/01/2012 by

Esta entrada tiene por objeto abrir un hilo de comentarios con dudas y preguntas de cara al examen del día 7 de febrero.

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Calificaciones SFIL 1112

Posted on 20/01/2012 by

Ya se pueden consultar las calificaciones. La revisión de examen tendrá lugar el martes día 24 de enero a las 12 horas.

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Selberg y la simplicidad

Posted on 07/01/2012 by

Atle Selberg nació en Langesund, Noruega, el 14 de junio de 1917 y murió en Princeton, EE.UU. el 6 de agosto de 2007. Selberg fue un gigante de las Matemáticas del siglo XX. Sus contribuciones a las Matemáticas son tan profundas y originales que su nombre siempre será una parte importante de la Historia de las Matemáticas. Su especialidad fue la teoría de números en un amplio sentido de la palabra.

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Los teoremas de convergencia

Posted on 05/01/2012 by

Esta entrada comprende tres teoremas que se encuentran entre los más importantes del Análisis Matemático. La potencia y la utilidad de estos teoremas constituyen la principal ventaja teórica de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann.

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Informe anual 2011

Posted on 01/01/2012 by

The WordPress.com stats helper monkeys prepared a 2011 annual report for this blog.

Here’s an excerpt:

The concert hall at the Syndey Opera House holds 2,700 people. This blog was viewed about 27,000 times in 2011. If it were a concert at Sydney Opera House, it would take about 10 sold-out performances for that many people to see it.

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Un conjunto no medible

Posted on 03/12/2011 by

Vamos a demostrar la existencia de un conjunto no medible. Se define una relación de equivalencia en el intervalo [0,1) del siguiente modo: dos números x,y \in [0,1) son equivalentes si x-y \in \mathbb{Q}. Esta relación define una partición del intervalo [0,1) en clases de equivalencia. Gracias al axioma de elección, existe un conjunto S \subseteq [0,1) que contiene exactamente un elemento de cada clase. Sea ahora (r_j) una numeración de los números racionales en el intervalo (-1,1) y sea S_j=r_j+S. Veamos cómo (S_j) es una sucesión de conjuntos disjuntos. Si x \in S_j \cap S_k entonces x=r_j+s_j y x=r_k+s_k con s_j,s_k \in S, pero s_j-s_k=r_k-r_j \in \mathbb{Q}, luego s_j=s_k y por lo tanto j=k. Además se tiene

\displaystyle{[0,1) \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty S_j \subseteq (-1,2),}

porque si x \in [0,1) entonces x está en alguna clase de equivalencia, luego existe algún y \in S tal que x-y \in \mathbb{Q}, de modo que x-y=r_j para algún j \geq 1, y así x \in S_j. Ahora probamos que S no es medible por reducción al absurdo. Si S es medible entonces S_j es un conjunto medible con m(S_j)=m(S) para todo j \geq 1 y por lo tanto

\displaystyle{m ( \bigcup_{j=1}^\infty S_j) = \sum_{j=1}^\infty m(S_j)= \sum_{j=1}^\infty m(S),}

y esto es una contradicción porque \displaystyle{ 1 \leq m (\bigcup_{j=1}^\infty S_j) \leq 3}, mientras que la serie \displaystyle{ \sum_{j=1}^\infty m(S)} converge a cero o diverge, según sea la medida m(S) nula o positiva.

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La ley de Benford

Posted on 21/11/2011 by

El astrónomo norteamericano Simon Newcomb observó en 1881 que las primeras páginas de las tablas de logaritmos, que entonces se usaban para realizar cálculos, estaban mucho más desgastadas que las demás páginas.

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Calificaciones SFIL 1112

Posted on 18/11/2011 by

Ya se pueden consultar las calificaciones de SFIL 1112. La revisión de examen tendrá lugar el día 23 de noviembre a las 11:00 horas.

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La paradoja del voto

Posted on 18/11/2011 by

La paradoja del voto es una situación observada por el Marqués de Condorcet a finales del siglo XVIII en donde las preferencias colectivas pueden ser no transitivas.
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Clave de soluciones

Posted on 16/11/2011 by

Este post tiene por objeto la publicación de las soluciones a los problemas del examen del pasado día 14 de noviembre.

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