Programa

Series de Funciones e Integral de Lebesgue ::: Curso 2011/12

1. Integrales impropias. Integración de funciones reales sobre intervalos no acotados. Criterios para la convergencia de integrales impropias. Convergencia absoluta y condicional. Las funciones gamma y beta de Euler.
2. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual y uniforme. Propagación de la continuidad, derivabilidad e integrabilidad por paso al límite uniforme.
3. Series de funciones. Convergencia puntual y uniforme. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de las series de funciones. Prueba de mayoración de Weierstrass.
4. Series de potencias. Fórmula del radio de convergencia. Criterio de Cauchy-Hadamard. Propiedades de las funciones definidas mediante series de potencias. Funciones analíticas.
5. Medida de Lebesgue. Construcción de la medida exterior. Conjuntos medibles. Regularidad de la medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel.
6. La integral de Lebesgue. Funciones simples. Funciones medibles. Integración de funciones no negativas. Integración de funciones medibles.
7. Teoremas de convergencia. Teorema de la convergencia monótona. Teorema de Beppo-Levi. Lema de Fatou. Teorema de la convergencia dominada.
8. Integrales paramétricas. Continuidad y derivabilidad de las funciones definidas mediante integrales dependientes de un parámetro.